جواب کاردرکلاس صفحه 18 ریاضی و آمار دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۸ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین مربوط به استفاده از عملگرهای **اجتماع ($\\cup$)، اشتراک ($\\cap$) و تفاضل ($\\setminus$)** در پیشامدها است. ابتدا پیشامدهای ساده را تعریف می‌کنیم. **فضای نمونه (S):** $\mathbf{S = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}}$ * **پیشامد $\mathbf{Z}$ (زوج):** $\mathbf{Z = \left\{ 2, 4, 6 \right\}}$ * **پیشامد $\mathbf{P}$ (اول):** $\mathbf{P = \left\{ 2, 3, 5 \right\}}$ --- ### ۱. پیشامد اینکه عدد رو آمده $\mathbf{زوج}$ و $\mathbf{اول}$ باشد ($athbf{Z \cap P}$) **«و»** به معنای **اشتراک** است (باید هر دو شرط برقرار باشند). $$\mathbf{Z \cap P} = \left\{ 2, 4, 6 \right\} \cap \left\{ 2, 3, 5 \right\} = \mathbf{\left\{ 2 \right\}}$$ ### ۲. پیشامد اینکه عدد رو آمده $\mathbf{زوج}$ یا $\mathbf{اول}$ باشد ($athbf{Z \cup P}$) **«یا»** به معنای **اجتماع** است (حداقل یکی از شرط‌ها برقرار باشد). $$\mathbf{Z \cup P} = \left\{ 2, 4, 6 \right\} \cup \left\{ 2, 3, 5 \right\} = \mathbf{\left\{ 2, 3, 4, 5, 6 \right\}}$$ ### ۳. پیشامد اینکه عدد رو آمده $\mathbf{زوج}$ ولی $\mathbf{اول}$ نباشد ($athbf{Z \setminus P}$) **«ولی»** یا **«فقط»** به معنای **تفاضل** است (اعضای $\mathbf{Z}$ که در $\mathbf{P}$ نیستند). $$\mathbf{Z \setminus P} = \left\{ 2, 4, 6 \right\} \setminus \left\{ 2, 3, 5 \right\} = \mathbf{\left\{ 4, 6 \right\}}$$ ### ۴. پیشامد اینکه عدد رو آمده $\mathbf{اول}$ باشد ولی $\mathbf{زوج}$ نباشد ($athbf{P \setminus Z}$) اعضای $\mathbf{P}$ که در $\mathbf{Z}$ نیستند (اعداد اول فرد): $$\mathbf{P \setminus Z} = \left\{ 2, 3, 5 \right\} \setminus \left\{ 2, 4, 6 \right\} = \mathbf{\left\{ 3, 5 \right\}}$$ ### ۵. پیشامد اینکه عدد رو آمده $\mathbf{اول}$ نباشد ($athbf{P}'$) این پیشامد **متمم** پیشامد اول ($\\mathbf{P}$) است ($\\mathbf{\text{P}' = \text{S} \setminus \text{P}}$). $$\mathbf{P}' = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\} \setminus \left\{ 2, 3, 5 \right\} = \mathbf{\left\{ 1, 4, 6 \right\}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۸ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی این تمرین به شما کمک می‌کند تا زبان **نظریه مجموعه‌ها (Set Theory)** را با **زبان احتمال (Probability)** مرتبط کنید و مفاهیم را روی نمودار ون تجسم کنید. ### ۱. پیشامد $\mathbf{A} - (\mathbf{B} \cup \mathbf{C})$ (نمونه حل شده) * **توضیح کلامی:** **فقط $\mathbf{A}$ رخ دهد** و $\mathbf{B}$ یا $\mathbf{C}$ رخ ندهد. به عبارت دیگر، اعضایی از $\mathbf{A}$ که خارج از $\mathbf{B}$ و خارج از $\mathbf{C}$ هستند. * **ناحیه سایه زده:** بخشی از دایره $\mathbf{A}$ که با دایره‌های $\mathbf{B}$ و $\mathbf{C}$ مشترک نیست. --- ### ۲. پیشامدهای $athbf{A}$ و $athbf{B}$ رخ دهند ولی پیشامد $\mathbf{C}$ رخ ندهد * **زبان مجموعه:** $\mathbf{(\mathbf{A} \cap \mathbf{B}) \setminus \mathbf{C}}$ یا $\mathbf{(\mathbf{A} \cap \mathbf{B}) \cap \mathbf{C}'}$ * **توضیح کلامی:** اشتراک $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$ را در نظر می‌گیریم (ناحیهٔ مشترک $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$) و سپس هر بخشی از این اشتراک که در $\mathbf{C}$ قرار دارد را حذف می‌کنیم. * **ناحیه سایه زده:** ناحیهٔ مشترک بین دایره $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$، به جز ناحیه‌ای که با $\mathbf{C}$ مشترک است. --- ### ۳. پیشامدهای $athbf{A}$ یا $athbf{B}$ رخ دهند ولی پیشامد $\mathbf{C}$ رخ ندهد * **زبان مجموعه:** $\mathbf{(\mathbf{A} \cup \mathbf{B}) \setminus \mathbf{C}}$ یا $\mathbf{(\mathbf{A} \cup \mathbf{B}) \cap \mathbf{C}'}$ * **توضیح کلامی:** ابتدا اجتماع $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$ را در نظر می‌گیریم (تمام ناحیهٔ داخل $\mathbf{A}$ یا $\mathbf{B}$) و سپس تمام بخش‌هایی از این اجتماع که در $\mathbf{C}$ قرار دارند را حذف می‌کنیم. * **ناحیه سایه زده:** تمام بخش‌هایی از دایره $\mathbf{A}$ و $\mathbf{B}$ (از جمله ناحیهٔ اشتراک آن‌ها) که هیچ اشتراکی با دایره $\mathbf{C}$ ندارند. --- ## ۳. تحلیل خانواده سه فرزند **فضای نمونه (S):** اگر پسر را $\mathbf{P}$ و دختر را $\mathbf{D}$ در نظر بگیریم، فضای نمونه برای سه فرزند ($athbf{2^3 = 8}$ حالت) عبارت است از: $$\mathbf{S = \left\{ \text{PPP}, \text{PPD}, \text{PDP}, \text{DPP}, \text{PDD}, \text{DPD}, \text{DDP}, \text{DDD} \right\}}$$ ### الف) پیشامد $athbf{A}$: اینکه همه فرزندان خانواده دارای یک جنسیت باشند. $$\mathbf{\text{A} = \left\{ \text{PPP}, \text{DDD} \right\}}$$ ### ب) پیشامد $athbf{B}$: اینکه دو فرزند خانواده پسر و یک فرزند دختر باشند. $$\mathbf{\text{B} = \left\{ \text{PPD}, \text{PDP}, \text{DPP} \right\}}$$ ### ج) پیشامد $athbf{C}$: اینکه حداقل دو فرزند این خانواده دختر باشند. حداقل دو دختر (۲ دختر یا ۳ دختر): $$\mathbf{\text{C} = \left\{ \text{PDD}, \text{DPD}, \text{DDP}, \text{DDD} \right\}}$$ **پاسخ به سؤالات ناسازگاری:** **تذکر:** دو پیشامد زمانی **ناسازگار (Mutually Exclusive)** هستند که **اشتراک آن‌ها تهی باشد** ($\\mathbf{\mathbf{A} \cap \mathbf{B} = \emptyset}$). یعنی نمی‌توانند همزمان رخ دهند. * **آیا پیشامدهای $athbf{A}$ و $athbf{B}$ ناسازگارند؟** $$\mathbf{A} \cap \mathbf{B} = \left\{ \text{PPP}, \text{DDD} \right\} \cap \left\{ \text{PPD}, \text{PDP}, \text{DPP} \right\} = \mathbf{\emptyset}$$ **پاسخ:** **بله، ناسازگارند.** (زیرا اگر همهٔ فرزندان یک جنسیت باشند، نمی‌توانند دو پسر و یک دختر باشند.) * **آیا پیشامدهای $athbf{C}$ و $athbf{B}$ ناسازگارند؟** $$\mathbf{C} \cap \mathbf{B} = \left\{ \text{PDD}, \dots, \text{DDD} \right\} \cap \left\{ \text{PPD}, \text{PDP}, \text{DPP} \right\} = \mathbf{\emptyset}$$ **پاسخ:** **بله، ناسازگارند.** (زیرا اگر حداقل دو دختر باشند (۲ یا ۳ دختر)، نمی‌تواند دقیقاً دو پسر و یک دختر باشد.) * **آیا پیشامدهای $athbf{C}$ و $athbf{A}$ ناسازگارند؟** $$\mathbf{C} \cap \mathbf{A} = \left\{ \text{PDD}, \dots, \text{DDD} \right\} \cap \left\{ \text{PPP}, \text{DDD} \right\} = \mathbf{\left\{ \text{DDD} \right\} \ne \emptyset}$$ **پاسخ:** **خیر، ناسازگار نیستند.** (زیرا حالت $\mathbf{DDD}$ در هر دو پیشامد مشترک است.) --- ## ۴. دو پیشامد ناسازگار از یک آزمایش تصادفی **آزمایش:** پرتاب یک تاس. * **پیشامد $athbf{E}$ (آمدن عدد زوج):** $\mathbf{\left\{ 2, 4, 6 \right\}}$ * **پیشامد $athbf{O}$ (آمدن عدد فرد):** $\mathbf{\left\{ 1, 3, 5 \right\}}$ $$\mathbf{E \cap O = \emptyset}$$ **مثال:** پیشامد آمدن عدد زوج و پیشامد آمدن عدد فرد، دو پیشامد **ناسازگار** هستند، زیرا یک عدد نمی‌تواند همزمان هم زوج و هم فرد باشد.